Квадрат

Квадра́т — правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника. Также является двумерным гиперкубом.

Свойства квадрата

  1. Длины всех сторон равны.
  2. Все углы квадрата прямые.
  3. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов.

Свойства

  • Пусть



    t


    {\displaystyle t}

     — сторона квадрата,




    R


    {\displaystyle R}

     — радиус описанной окружности,




    r


    {\displaystyle r}

     — радиус вписанной окружности. Тогда центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей, и

    • радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:




      r
      =


      t
      2




      {\displaystyle r={\frac {t}{2}}}

      ,

    • радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:




      R
      =



      2

      2


      t


      {\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}t}

      ,

  • Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:
    • одну ось симметрии четвёртого порядка (ось, перпендикулярная плоскости квадрата и проходящая через его центр);
    • четыре оси симметрии второго порядка (что для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.
  • Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Периметр квадрата

    • периметр квадрата равен:




      P
      =
      4
      t
      =
      4


      2


      R
      =
      8
      r


      {\displaystyle P=4t=4{\sqrt {2}}R=8r}

      ,

Площадь квадрата

Здесь приведены формулы, свойственные именно квадрату. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
    • площадь



      S


      {\displaystyle S}

      квадрата равна




      S
      =

      t

      2


      =
      2

      R

      2


      =
      4

      r

      2




      {\displaystyle S=t^{2}=2R^{2}=4r^{2}}

      .

Уравнение квадрата

Уравнение квадрата с центром в точке




{

x




,

y




}


{\displaystyle \{x_{0},y_{0}\}}

и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде:





|

x


x





|

+

|

y


y





|

=
a
,


{\displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=a,}

где




a


{\displaystyle a}

— половина длины диагонали квадрата.

Сторона квадрата тогда равна




a


2


,


{\displaystyle a{\sqrt {2}},}

его диагональ равна




2
a
,


{\displaystyle 2a,}

а площадь квадрата равна




2

a

2


.


{\displaystyle 2a^{2}.}

Неевклидова геометрия

В неевклидовой геометрии квадрат (более широко) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами.

Многообразие квадратов

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

Графы:
K4 полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделен на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

См. также

Ссылки

  • Квадрат, геометрическая фигура // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.


Error: 404 Not Found.

Квадрат

Error: 404 Not Found.

Площадь квадрата и длина его сторон

Error: 404 Not Found.

Линии симметрии

Error: 404 Not Found.Error: 404 Not Found.

К уравнению квадрата. Здесь

a
=
2
,

x

=

y

=

{\displaystyle a=2,x_{0}=y_{0}=0}

Error: 404 Not Found.

Построение квадрата с использованием циркуля и линейки

Error: 404 Not Found.

Складывание квадрата из произвольного куска бумаги

Поделиться ссылкой:

Смотреть:
Единорог