Многоугольник

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пятиконечная звезда — нет.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин.

Варианты определений

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

  • Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
  • Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.

Связанные определения

  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
  • Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
  • Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
  • Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить




    180






    {\displaystyle 180^{\circ }}

    в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.

  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между




    180






    {\displaystyle 180^{\circ }}

    и внутренним углом, он может принимать значения от






    180






    {\displaystyle -180^{\circ }}

    до





    180






    {\displaystyle 180^{\circ }}

    .

  • Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.

Виды многоугольников и их свойства

  • Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с



    n


    {\displaystyle n}

    вершинами называется




    n


    {\displaystyle n}

    -угольником.

  • Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника. Выпуклый многоугольник всегда простой, то есть не имеет точек самопересечения.
  • Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного



    n


    {\displaystyle n}

    -угольника равен




    {
    n
    }


    {\displaystyle \{n\}}

    .

  • Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
  • Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
  • Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника.. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
  • Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности. Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Общие свойства

Теорема о сумме углов многоугольника

Сумма внутренних углов простого плоского




n


{\displaystyle n}

-угольника равна





180




(
n

2
)


{\displaystyle 180^{\circ }(n-2)}

. Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна





360




.


{\displaystyle 360^{\circ }.}

Число диагоналей

  • Число диагоналей всякого



    n


    {\displaystyle n}

    -угольника равно








    n
    (
    n

    3
    )

    2





    {\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}

    .

Площадь

Пусть




{
(

X

i


,

Y

i


)
}
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n


{\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,…,n}

 — последовательность координат соседних друг другу вершин




n


{\displaystyle n}

-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:




S
=


1
2



|




i
=
1


n


(

X

i


+

X

i
+
1


)
(

Y

i




Y

i
+
1


)

|



{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}

, где




(

X

n
+
1


,

Y

n
+
1


)
=
(

X

1


,

Y

1


)


{\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}

.

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона .

Площадь правильного




n


{\displaystyle n}

-угольника вычисляется по одной из формул:

  • половина произведения периметра



    n


    {\displaystyle n}

    -угольника на апофему:





  • S
    =


    n
    4


     

    a

    2






    ctg



    π
    n




    {\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}

    .





  • S
    =


    1
    2


    n

    R

    2


    sin




    360




    n


    ;


    {\displaystyle S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n}};}





  • S
    =
    n

    r

    2




    t
    g





    π
    n




    {\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}

где




a


{\displaystyle a}

— длина стороны многоугольника,




R


{\displaystyle R}

— радиус описанной окружности,




r


{\displaystyle r}

— радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура




F


{\displaystyle F}

называется квадрируемой, если для любого




ε
>



{\displaystyle \varepsilon >0}

существует пара многоугольников




P


{\displaystyle P}

и




Q


{\displaystyle Q}

, таких, что




P

F

Q


{\displaystyle P\subset F\subset Q}

и




S
(
Q
)

S
(
P
)
<
ε


{\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }

, где




S
(
P
)


{\displaystyle S(P)}

обозначает площадь




P


{\displaystyle P}

.

Вариации и обобщения

  • Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

Примечания

Литература

  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.


Error: 404 Not Found.

Различные типы многоугольников

Error: 404 Not Found.

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник с 13 углами и 13 вершинами.

Error: 404 Not Found.

Многоугольник, вписанный в окружность

Error: 404 Not Found.

Многоугольник, описанный около окружности

Поделиться ссылкой:

Смотреть:
Шарукань