Нейтральный элемент

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Определение

Пусть




(
M
,

)


{\displaystyle (M,\cdot )}

 — множество




M


{\displaystyle M}

с определённой на нём бинарной операцией «







{\displaystyle \cdot }

». Элемент




e

M


{\displaystyle e\in M}

называется нейтральным относительно







{\displaystyle \cdot }

(умножения), если




x

e
=
e

x
=
x
,


x

M


{\displaystyle x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M}

.

В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент





e


l





{\displaystyle e_{\mathrm {l} }}

, для которого





e


l




x
=
x
,


x

M


{\displaystyle e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M}

,

и правый нейтральный элемент





e


r





{\displaystyle e_{\mathrm {r} }}

, для которого




x


e


r



=
x
,


x

M


{\displaystyle x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M}

.

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент





e


l





{\displaystyle e_{\mathrm {l} }}

, и нейтральный справа элемент





e


r





{\displaystyle e_{\mathrm {r} }}

, то они обязаны совпадать (так как





e


r



=

e


l





e


r



=

e


l





{\displaystyle e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }\cdot e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }}

).

Примеры

Терминология

В алгебре

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но и (иногда) групповую операцию в абелевых группах.

В теории решёток

В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

См. также

  • Обратный элемент
  • Моноид
  • Группа

Ссылки

Поделиться ссылкой:

Смотреть:
Организм