Ноль

Ноль (, нуль от лат. nullus — никакой) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее, то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль.

Большой толковый словарь Кузнецова (2009) приводит обе формы слова: ноль, нуль — как равнозначные, хотя имеется некоторое различие в употреблении. В частности, форма нуль чаще используется в терминологии, особенно в косвенных падежах, она же берётся как основа для образования прилагательного нулевой — соответственно, форма ноль чаще употребляется в именительном падеже (см. врезку).

Ноль играет исключительно важную роль в математике и физике.

Ноль в математике

Принадлежность к натуральным числам

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам, другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом





N



{\displaystyle \mathbb {N} }

. Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения:






  • N



    {\displaystyle \mathbb {N} }

     — натуральные числа, включая ноль:




    {

    ,
    1
    ,
    2
    ,
    3
    ,
    4

    }


    {\displaystyle \{0,1,2,3,4\dots \}}

    .







  • N







    {\displaystyle \mathbb {N^{*}} }

     — натуральные числа без нуля:




    {
    1
    ,
    2
    ,
    3
    ,
    4

    }


    {\displaystyle \{1,2,3,4\dots \}}

    .

В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ





N



{\displaystyle \mathbb {N} }

обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например,






N





,


Z


+


,


Z








{\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{+},\mathbb {Z} _{\geqslant 0}}

и т. д.

Ноль как цифра

Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи




4
,
40
,
400.


{\displaystyle 4,40,400.}

Придание нулю статуса полноценного числа происходит постепенно в начале Нового времени.

Основные свойства нуля

  • 0 — целое число.
  • На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.
  • Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число:





    /

    2
    =



    {\displaystyle 0/2=0}

    .

  • Ноль не имеет знака. Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины:







    {\displaystyle -0}

    ,




    +



    {\displaystyle +0}

    , однако это не числа в обычном смысле.

  • Любое число при сложении с нулём не меняется:



    a
    +

    =

    +
    a
    =
    a
    .


    {\displaystyle a+0=0+a=a.}

    При вычитании нуля из любого числа получается то же число:




    a


    =
    a


    {\displaystyle a-0=a}

    .

  • Умножение любого числа на ноль даёт ноль:




a


=


a
=
0.


{\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0.}

  • При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:






/

a
=



{\displaystyle 0/a=0}

при




a

0.


{\displaystyle a\neq 0.}

Деление на ноль

  • Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел.
В самом деле, если обозначить






a



=
b


{\displaystyle {\frac {a}{0}}=b}

, то по определению деления формально должно быть




b


=
a


{\displaystyle b\cdot 0=a}

, в то время как выражение




b




{\displaystyle b\cdot 0}

, при любом




b


{\displaystyle b}

, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.

  • Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.

Значения отдельных функций

  • Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице:




    a




    =
    1


    {\displaystyle a^{0}=1}

    .

    • Выражение











      {\displaystyle 0^{0}}

      (ноль в нулевой степени) принято считать лишённым смысла, то есть неопределённым.

Связано это с тем, что функция двух переменных





x

y




{\displaystyle x^{y}}

в точке




{

,

}


{\displaystyle \{0,0\}}

имеет неустранимый разрыв.

В самом деле, вдоль положительного направления оси




X
,


{\displaystyle X,}

где




y
=

,


{\displaystyle y=0,}

она равна единице, а вдоль положительного направления оси




Y
,


{\displaystyle Y,}

где




x
=

,


{\displaystyle x=0,}

она равна нулю. См. подробнее статью Ноль в нулевой степени.

  • Факториал нуля, по соглашению, принят равным единице:




    !
    =
    1


    {\displaystyle 0!=1}

    .

Ноль в геометрии

  • Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
  • Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
  • Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства вновь именуется началом координат, если все её координаты нулевые.
  • Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
  • На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

Ноль в математическом анализе

  • При вычислении предела отношения



    (
    a

    /

    b
    )


    {\displaystyle (a/b)}

    , где




    a




    {\displaystyle a\rightarrow 0}

    и




    b




    {\displaystyle b\rightarrow 0}

    , возникает ситуация, когда непосредственная подстановка даёт выражение




    (


    /


    )


    {\displaystyle (0/0)}

    , значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль:





    (






    )



    {\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)}

    ,




    (






    )


    {\displaystyle (0^{0})}

    ,




    (






    )


    {\displaystyle (\infty ^{0})}

    ,




    (



    )


    {\displaystyle (0\cdot \infty )}

    .

  • Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:
  • Правый предел:




    lim

    x

    +





    1
    x


    =

    (


    1



    )

    =
    +



    {\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty }

    _ или _





    (


    1
    x


    )






    x






    +






    +



    {\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}+0}]{}}+\infty }

    .

  • Левый предел:




    lim

    x







    1
    x


    =

    (


    1



    )

    =




    {\displaystyle \lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty }

    _ или _





    (


    1
    x


    )






    x

















    {\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}-0}]{}}-\infty }

    .

Обобщения (ноль в общей алгебре)

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера




n
×
n


{\displaystyle n\times n}

является нулевым элементом кольца квадратных матриц





M

n


(
R
)


{\displaystyle M_{n}(R)}

. Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен,




p
(
x
)




{\displaystyle p(x)\equiv 0}

.

Ноль в информатике и вычислительной технике

Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод.

В компьютерах существует понятие «машинного нуля» — это число с плавающей запятой и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.

Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real M(n) означает .массив





M




,

M

1




M

n

1


.


{\displaystyle M_{0},M_{1}\dots M_{n-1}.}

Платформа Microsoft .NET Framework закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic, который изначально использовал нумерацию с единицы.

В SQL-базах данных поле может иметь специальное значение NULL, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.

В математике






=
+

=



{\displaystyle -0=+0=0}

; то есть






,
+



{\displaystyle -0,+0}

представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754 или в прямом и обратном коде) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование). На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют.

При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру с латинской или русской буквой О, что может вызвать серьёзные последствия, одно время действовала рекомендация нуль перечёркивать:







{\displaystyle \emptyset }

. Иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ «Минск-32» перечёркивали букву О, а не нуль. В начале эпохи персональных компьютеров в текстовом режиме работы дисплея и на многих матричных принтерах нуль также выводился в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля). На дисплеях IBM 3270 цифра 0 изображалась с точкой в ​​центре. Визуальное различие цифры от буквы О остаётся важным требованием к моноширинным шрифтам. В пропорциональных шрифтах буква О заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.

Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода; он может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00, однако результат зависит как от текущего шрифта, так и от браузера. Поэтому надёжнее использовать взамен сходные по виду значки скандинавской буквы (Ø), пустого множества (∅) или диаметра (⌀).

История использования нуля

История цифры 0

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.

Древний Восток

Вавилонские математики использовали для индикации шестидесятеричного нуля вначале пропуск, а затем — особый клинописный значок «двойной клин»; предполагается, что последний значок вавилоняне использовали начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не имел самостоятельного значения и воспринимался не как цифра, а как отсутствие цифры; более того, он никогда не ставился в конце записи числа, так что, скажем, числа 2 и 120 (2×60) приходилось различать по контексту.

Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в римской — буквой C, в китайской — иероглифом 百.

Майя и инки

Империя Майя существовала на полуострове Юкатан в период примерно с 300 года до н. э. по 900 год н. э. Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев, однако только жрецами и только для календарных нужд (в повседневной жизни майя использовали иероглифическую пятеричную систему). Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль, то есть 8 декабря 36 года до н. э.

Любопытно, что тем же знаком математики майя обозначали и бесконечность, так как он означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину».
Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня, который назывался Ахау.

В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом кечуа ch’usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»), но какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

Индия

В Индии цифра «ноль» именовалась санскритским словом «сунья» («пустота»; «отсутствие») и широко использовалась в поэзии и священных текстах. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийском «манускрипте Бакхшали» от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.

От индийцев через арабов, называвших цифру 0 «сифр» (отсюда слова «цифра» и лат. zero, ноль), она попала в Западную Европу.

Европа

В Вене хранится рукописная арифметика XV века, приобретённая в Константинополе (Стамбуле), в которой употребляются греческие числовые знаки вместе с обозначением нуля точкой. В латинских переводах арабских трактатов XII века знак нуля (0) называется кружком — circulus. В оказавшем очень большое влияние на преподавание арифметики в западных странах руководстве Сакробоско, написанном в 1250 году и перепечатывавшемся в очень многих странах, ноль называется «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, или тека, или кружок, или цифра, или знак ничего. Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов c XII века. Термин nulla имеется в рукописи Никола Шюке 1484 года и в первой печатной так называемой (по месту издания) Тревизской арифметике (1478).

С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.

Россия

Леонтий Магницкий в своей «Арифметике» называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется «низачто». В конце XVIII века во втором русском издании «Сокращения первых оснований математики» X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой. В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется «оном» вследствие сходства с буквой о.

История числа «ноль»

Хотя в египетской системе счисления цифра 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали вместо неё иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц.

В китайских записях чисел цифра «нуль» также отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из «иероглифов императрицы У Цзэтянь».

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. οὐδέν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

См. также

  • Отрицательный и положительный ноль
  • Ничто

Примечания

Литература

  • Ламберто Гарсия дель Сид. Первые натуральные числа и их значение → 0 — двусмысленное число // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 14—15. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
  • Нуль // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 219. — 352 с.
  • Сейфе, Чарльз. Ноль. Биография опасной идеи = Zero: The Biography of a Dangerous Idea. — Neoclassic, АСТ, 2014. — 288 с. — ISBN 978-5-17-083294-1.
  • Kaplan, Robert. The nothing that is. A Natural History of Zero. — Oxford: Oxford University Press, 2000. — 226 с. — ISBN 0-19-512842-7.
  • Wells, David. // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — Penguin Books, 1986. — С. 23—26. — 229 с. — ISBN 0-14-008029-5.

Ссылки

  • История нуля
  • Почему нельзя делить на ноль?
  • Символика чисел (нуль) /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
  • О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто» Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
  • Свойства числа ноль
  • J. J. O’Connor, E. F. Robertson. A history of Zero (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (ноябрь 2000).


Error: 404 Not Found.

Пометки нулей, чтобы не путать их с буквой О

Error: 404 Not Found.

Пустая раковина — один из знаков нуля в системе счисления майя

Поделиться ссылкой:

Смотреть:
Список персонажей InuYasha