Трапеция

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Иногда в определении трапеции опускают последнее условие (см ниже). Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения

Элементы трапеции

  • Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
  • Углом при основании трапеции называется ее внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.

Виды трапеций

  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой или равнобочной трапецией).
  • Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Свойства

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
  • Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен






    2
    x
    y


    x
    +
    y





    {\displaystyle {\frac {2xy}{x+y}}}

    среднему гармоническому длин оснований трапеции.

  • В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
  • Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
  • Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
  • Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.
  • Если отношение оснований равно



    K


    {\displaystyle K}

    , то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно





    K

    2




    {\displaystyle K^{2}}

    .

  • Высота трапеции определяется формулой:




h
=



c

2





1
4




(





c

2




d

2




b

a



+
b

a

)


2






{\displaystyle h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}}

где




b


{\displaystyle b}

 — большее основание,




a


{\displaystyle a}

 — меньшее основание,




c


{\displaystyle c}

и




d


{\displaystyle d}

 — боковые стороны.

  • Диагонали трапеции




    d

    1




    {\displaystyle d_{1}}

    и





    d

    2




    {\displaystyle d_{2}}

    связаны со сторонами соотношением:





d

1


2


+

d

2


2


=
2
a
b
+

c

2


+

d

2




{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}}

Их можно выразить в явном виде:





d

1


=
A
C
=


a
b
+

d

2


+



b
(

c

2




d

2


)


b

a







{\displaystyle d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}





d

2


=
B
D
=


a
b
+

c

2






b
(

c

2




d

2


)


b

a







{\displaystyle d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}

Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:




a
=




(

c

2




d

1


2



)

2



(

d

2




d

2


2



)

2




2
(

c

2




d

2


+

d

1


2




d

2


2


)






{\displaystyle a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}}




b
=




(

c

2




d

2


2



)

2



(

d

2




d

1


2



)

2




2
(

c

2




d

2




d

1


2


+

d

2


2


)






{\displaystyle b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}}

а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:




c
=




a
(

d

2


2




b

2


)
+
b
(

d

1


2




a

2


)


a
+
b






{\displaystyle c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}




d
=




a
(

d

1


2




b

2


)
+
b
(

d

2


2




a

2


)


a
+
b






{\displaystyle d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}

Если же известна высота




h


{\displaystyle h}

, то





d

1


=



b

2


+

d

2



2
b



d

2




h

2






=



h

2


+


(

b




d

2




h

2





)


2






{\displaystyle d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}





d

2


=



b

2


+

c

2



2
b



c

2




h

2






=



h

2


+


(

b




c

2




h

2





)


2






{\displaystyle d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}

  • Прямая Ньютона для трапеции совпадает с её средней линией.

Равнобедренная трапеция

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

  • прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
  • высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
  • углы при любом основании равны;
  • сумма противоположных углов равна 180°;
  • длины диагоналей равны;
  • вокруг этой трапеции можно описать окружность;
  • вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

  • если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

  • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
  • В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
  • Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
  • Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:




R
=



b
c

d

1




4


p
(
p

b
)
(
p

c
)
(
p


d

1


)





=




a
b
+

c

2




4



(



b

a

c


)


2








{\displaystyle R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4-\left({\frac {b-a}{c}}\right)^{2}}}}}

где




p
=


1
2


(
b
+
c
+

d

1


)

,

c


{\displaystyle p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c}

 — боковая сторона,




b


{\displaystyle b}

 — бо́льшее основание,




a


{\displaystyle a}

 — меньшее основание,





d

1


=

d

2




{\displaystyle d_{1}=d_{2}}

 — диагонали равнобедренной трапеции.

  • Если



    a
    +
    b
    =
    2
    c


    {\displaystyle a+b=2c}

    , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса




r
=


h
2


=



a
b

2




{\displaystyle r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}}

  • Если в трапецию вписана окружность с радиусом



    r


    {\displaystyle r}

    , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —




    v


    {\displaystyle v}

    и




    w


    {\displaystyle w}

     — то




    r
    =


    v
    w




    {\displaystyle r={\sqrt {vw}}}

    .

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
  • В случае, если



    a


    {\displaystyle a}

    и




    b


    {\displaystyle b}

     — основания и




    h


    {\displaystyle h}

     — высота, формула площади:




S
=



(
a
+
b
)

2


h


{\displaystyle S={\frac {(a+b)}{2}}h}

  • В случае, если



    m


    {\displaystyle m}

     — средняя линия и




    h


    {\displaystyle h}

     — высота, формула площади:




S
=

m
h



{\displaystyle S=\displaystyle mh}

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:




m
=



(
a
+
b
)

2




{\displaystyle m={\frac {(a+b)}{2}}}

  • Формула, где



    a
    <
    b


    {\displaystyle a<b}

     — основания,




    c


    {\displaystyle c}

    и




    d


    {\displaystyle d}

     — боковые стороны трапеции:




S
=



a
+
b


4
(
b

a
)





(
a
+
c
+
d

b
)
(
a
+
d

b

c
)
(
a
+
c

b

d
)
(
b
+
c
+
d

a
)


.


{\displaystyle S={\frac {a+b}{4(b-a)}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}

или




S
=



a
+
b

2





c

2





1
4




(





c

2




d

2




b

a



+
b

a

)


2






{\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}}

  • Средняя линия



    m


    {\displaystyle m}

    разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как







S

1



S

2




=



3
a
+
b


a
+
3
b





{\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3a+b}{a+3b}}}

  • Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным



    r


    {\displaystyle r}

    , и углом при основании




    α


    {\displaystyle \alpha }

    :




S
=



4

r

2




sin


α






{\displaystyle S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}}

  • Площадь равнобедренной трапеции:




S
=
(
b

c
cos


γ

)
c
sin


γ

=
(
a
+
c
cos


γ

)
c
sin


γ



{\displaystyle S=(b-c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }}

где




c


{\displaystyle c}

 — боковая сторона,




b


{\displaystyle b}

 — бо́льшее основание,




a


{\displaystyle a}

 — меньшее основание,




γ


{\displaystyle \gamma }

 — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной.

  • Площадь равнобедренной трапеции через её стороны




S
=



a
+
b

2





c

2





1
4


(
b

a

)

2






{\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(b-a)^{2}}}}

История

Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).

Примечания


Error: 404 Not Found.

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой

Error: 404 Not Found.

Error: 404 Not Found.

Поделиться ссылкой:

Смотреть:
Реки Германии