Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества,
свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.

Определение

Отношение эквивалентности (







{\displaystyle \sim }

) на множестве




X


{\displaystyle X}

 — это бинарное отношение, для которого при любых




a
,
b
,
c


{\displaystyle a,b,c}

из




X


{\displaystyle X}

выполнены следующие условия:

  1. рефлексивность:



    a

    a


    {\displaystyle a\sim a}

    ;

  2. симметричность: если



    a

    b


    {\displaystyle a\sim b}

    , то




    b

    a


    {\displaystyle b\sim a}

    ;

  3. транзитивность: если



    a

    b


    {\displaystyle a\sim b}

    и




    b

    c


    {\displaystyle b\sim c}

    , то




    a

    c


    {\displaystyle a\sim c}

    .

Запись вида «




a

b


{\displaystyle a\sim b}

» читается как «




a


{\displaystyle a}

эквивалентно




b


{\displaystyle b}

».

Связанные определения

Классом эквивалентности




[
a
]

X


{\displaystyle [a]\subset X}

элемента




a

X


{\displaystyle a\in X}

называется подмножество элементов, эквивалентных




a


{\displaystyle a}

; то есть,




[
a
]
=
{

x

X

x

a

}


{\displaystyle [a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}}

.

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если




b

[
a
]


{\displaystyle b\in [a]}

, то




[
a
]
=
[
b
]


{\displaystyle [a]=[b]}

.

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества




X


{\displaystyle X}

по заданному отношению







{\displaystyle \sim }

, обозначается




X

/






{\displaystyle X/{\sim }}

.

Для класса эквивалентности элемента




a


{\displaystyle a}

используются следующие обозначения:




[
a
]


{\displaystyle [a]}

,




a

/






{\displaystyle a/{\sim }}

,






a
¯




{\displaystyle {\overline {a}}}

.

Множество классов эквивалентности по отношению







{\displaystyle \sim }

является разбиением множества.

Примеры

  • Равенство («



    =


    {\displaystyle =}

    »), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.

  • Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n).
  • В евклидовой геометрии
    • Отношение конгруэнтности («






      {\displaystyle \cong }

      »).

    • Отношение подобия («






      {\displaystyle \sim }

      »).

    • Отношение параллельности прямых («






      {\displaystyle \|}

      ») (но только если дополнительно к принятому определению считать каждую прямую параллельной самой себе).

  • Эквивалентность функций в математическом анализе:
    Говорят, что функция




    f
    (
    x
    )


    {\displaystyle f(x)}

    эквивалентна функции




    g
    (
    x
    )


    {\displaystyle g(x)}

    при




    x


    x






    {\displaystyle x\rightarrow x_{0}}

    , если она допускает представление вида




    f
    (
    x
    )
    =
    α
    (
    x
    )
    g
    (
    x
    )


    {\displaystyle f(x)=\alpha (x)g(x)}

    , где




    α
    (
    x
    )

    1


    {\displaystyle \alpha (x)\rightarrow 1}

    при




    x


    x






    {\displaystyle x\rightarrow x_{0}}

    . В этом случае пишут




    f
    (
    x
    )

    g
    (
    x
    )


    {\displaystyle f(x)\sim g(x)}

    , напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при




    x


    x






    {\displaystyle x\rightarrow x_{0}}

    . Если




    g
    (
    x
    )




    {\displaystyle g(x)\neq 0}

    при




    x


    x






    {\displaystyle x\neq x_{0}}

    , эквивалентность функций




    f
    (
    x
    )


    {\displaystyle f(x)}

    и




    g
    (
    x
    )


    {\displaystyle g(x)}

    при




    x


    x






    {\displaystyle x\rightarrow x_{0}}

    , очевидно, равносильна соотношению





    lim

    x


    x









    f
    (
    x
    )


    g
    (
    x
    )



    =
    1


    {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}

    .

  • Эквивалентность норм на векторном пространстве.
  • Отношение равномощности множеств.
  • Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
  • Эквивалентность категорий.
  • Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
  • Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.

Классы эквивалентности

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности







{\displaystyle \sim }

, обозначается символом




X

/






{\displaystyle X/{\sim }}

и называется фактормножеством относительно







{\displaystyle \sim }

.
При этом сюръективное отображение




p
:
x

[
x
]


{\displaystyle p\colon x\mapsto [x]}

называется естественным отображением (или канонической проекцией)




X


{\displaystyle X}

на фактормножество




X

/






{\displaystyle X/{\sim }}

.

Пусть




X


{\displaystyle X}

и




Y


{\displaystyle Y}

 — множества,




f
:
X

Y


{\displaystyle f\colon X\to Y}

 — отображение, тогда бинарное отношение




x

y


{\displaystyle x\sim y}

, определённое правилом




x

y



f
(
x
)
=
f
(
y
)
,

x
,
y

X


{\displaystyle x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X}

,

является отношением эквивалентности на




X


{\displaystyle X}

.
При этом отображение




f


{\displaystyle f}

индуцирует отображение






f
¯


:
X

/





Y


{\displaystyle {\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y}

, определяемое правилом






f
¯


(
[
x
]
)
=
f
(
x
)


{\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}

или, что то же самое,




(


f
¯



p
)
(
x
)
=
f
(
x
)


{\displaystyle ({\overline {f}}\circ p)(x)=f(x)}

.

При этом получается факторизация отображения




f


{\displaystyle f}

на сюръективное отображение




p


{\displaystyle p}

и инъективное отображение






f
¯




{\displaystyle {\overline {f}}}

.

См. также

  • Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
  • Эквиваленция — логическая операция.
  • Знак равенства.

Литература

  • А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
  • А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
  • Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М: Сов. энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.

Поделиться ссылкой:

Смотреть:
1070-е годы