Эйлерова характеристика

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства.
Эйлерова характеристика пространства




X


{\displaystyle X}

обычно обозначается




χ
(
X
)


{\displaystyle \chi (X)}

.

Определения

  • Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма




    χ
    =

    k






    k

    1


    +

    k

    2



    .
    .
    .
    ,


    {\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-…,}

где





k

i




{\displaystyle k_{i}}

обозначает число клеток размерности




i


{\displaystyle i}

.

  • Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти




    b

    n




    {\displaystyle b_{n}}

    как знакопеременная сумма:




    χ
    =

    b






    b

    1


    +

    b

    2




    b

    3


    +

    .
    .
    .


    {\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,…}

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

  • Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Свойства

  • Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
    • В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
  • Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия нечётной размерности равна нулю.
  • Эйлерова характеристика произведения топологических пространств M и N равно произведению их эйлеровых характеристик:




χ
(
M
×
N
)
=
χ
(
M
)

χ
(
N
)
.


{\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).}

Эйлерова характеристика полиэдров

  • Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле:



    χ
    =
    Γ



    P


    +


    B




    {\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}}

    где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного многогранника верна формула Эйлера:




    Γ



    P


    +


    B


    =
    χ
    (

    S

    2


    )
    =
    2.


    {\displaystyle \Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=\chi (S^{2})=2.}

Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Формула Гаусса — Бонне

Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности)




S


{\displaystyle S}

без границы существует
формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику




χ
(
S
)


{\displaystyle \chi (S)}

с гауссовой кривизной




K


{\displaystyle K}

многообразия:







S


K

d
σ
=
2
π
χ
(
S
)
,


{\displaystyle \int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),}

где




d
σ


{\displaystyle d\sigma }

 — элемент площади поверхности




S


{\displaystyle S}

.

  • Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне для двумерного многообразия с краем.
  • Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное риманово многообразие, известная, как теорема Гаусса — Бонне — Черна или обобщённая формула Гаусса — Бонне.
  • Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на



    2
    π


    {\displaystyle 2\pi }

    .

  • Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентируемые и неориентируемые поверхности

Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её родом g (числом ручек, то есть числом торов в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением




χ
=
2

2
g
.
 


{\displaystyle \chi =2-2g.\ }

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её неориентируемым родом k (числом проективных плоскостей в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением




χ
=
2

k
.
 


{\displaystyle \chi =2-k.\ }

Величина эйлеровой характеристики

История

В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде




S
+
H
=
A
+
2
,


{\displaystyle S+H=A+2,}

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Рене Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1812 году Симон Люилье распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое




(

2
g
)
,


{\displaystyle (-2g),}

где




g


{\displaystyle g}

— количество дырок («род поверхности»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка:




16
+
16
=
32
+
2

2

1.


{\displaystyle 16+16=32+2-2\cdot 1.}

В 1899 году Пуанкаре обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:







i
=



N

1




(

1
)


i



A

i


=
1
+


(

1
)


N

1


,


{\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{N-1},}

где





A

i




{\displaystyle A_{i}}

— количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:







i
=



N




(

1
)


i



A

i


=
1.


{\displaystyle \sum _{i=0}^{N}{(-1)}^{i}A_{i}=1.}

Вариации и обобщения

  • Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.

Примечания

Литература

  • Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
  • Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
  • Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).
  • Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна

См. также

  • Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Поделиться ссылкой:

Смотреть:
Венская партия